ressource pédagogique

EQUATION D’UNE DROITE

Cette ressource pédagogique, a été conçu dans l’optique de venir en aide à un élève de la classe de troisième (3ième), pour lequel la détermination de l’équation d’une droite semble difficile et les notions de droites sécantes, orthogonales et parallèles sont encore flous.

Il sera alors question ici, de la définition, des différentes méthodes de recherche de l’équation d’une droite ainsi que de la construction de cette dernière. Mais encore plus, de l’utilisation du logiciel Maple pour ce qui est de la recherche d’une équation de droite et de sa construction.

                                                                                                                             I.            DEFINITION ET FORME

Une équation F de droite (D) est une expression relative à cette droite, dont les points ont pour coordonnées l'ensemble de solutions de cette équation. Ainsi pour résoudre notre équation F, les solutions ne seront rien d’autre que les coordonnées  des différents points de la droite (D)

Elle est généralement sous la forme ax+by+c=0 de laquelle se déduit la forme dérivé y=ax+b[1] avec(a)comme  coefficient directeur de la droite et(b) son  ordonnée à l'origine ou quotient de la droite, forme la plus utilisée et facilement maniable. C’est une équation du premier degré dans R*R.

                                                                          II.            RECHERCHE D’UNE EQUATION DE DROITE

Pour obtenir l’équation d’une droite :

1.      Passant par deux points donnés

Il faut connaître les coordonnées de trois points appartenant à cette droite. Si ce n'est pas le cas, alors il faut souvent introduire un point M de coordonnées (x ; y ) appartenant à cette droite. Ainsi, on se retrouve :

- soit avec deux points de cette droite et le point M,[2]

- Soit avec un point, un vecteur directeur et le point M.[3]

Ensuite, il suffit de montrer que deux vecteurs parallèles (colinéaires) sont "proportionnels", c'est à dire que l'un est égal à k fois l'autre (on dit que l'un est le produit de l'autre par une constante, ici la constante est k, (k est un nombre). Alors les coordonnées de l'un sont égales à k fois celles de l'autre.

Remarque : A B et M sont alignés.

soit A(xa;ya) et B(xb ;yb) deux point de la droite (AB) et M(x ;y) un point de la dite droite AB= xb-xa et yb-ya et AM=xm-xa et ym-ya

le vecteur AB= kAM donc xb-xa=k(xm-xa) et yb-ya=k(ym-ya)

Exemple :on donne les points A(1 ;8) et B(-1 ;2). M(x ;y) un point du plan et M Є[4] à (AB)

Alors les vecteurs AB et AM sont colinéaires or :

AM(x-1 ;y-8) et AB(-2 ;-6)

On obtient alors -6(x-1)+2(y-8)=0

L’équation de la droite (AB)= -6x+2y+10

 On aussi déterminer son coefficient directeur en utilisant une propriété géométrique (deux points de la droite, parallélisme, orthogonalité)

Pour trouver une équation de droite, dont on connait deux points A(x,y) et B(x,y), on calcule le coefficient directeur a de cette droite.

En effet : a= (yb-ya)/(xb-xa)

Ensuite, sachant que y=ax+b, alors il ne reste plus qu'à remplacer dans cette équation a par le résultat que l'on a trouvé, et x et y par les coordonnées d'un point appartenant à cette droite.

On trouve alors la valeur de p et on peut donc écrire l'équation de la droite que l'on a trouvé.

Exemple : Nous voulons trouver l’équation de la droite (AB) qui passe donc par A (1;8) et B (-1;2) pour y=ax+b forme de l’équation de la droite (AB)

Calculons :

a = (yb-ya)/(xb-xa)a= (2-8)/(-1-1) =-6/-2= 3

maintenant on remplace a et les coordonnées de A dans l’équation y =ax+b

8= (3*1)+b = 3+b

b = 8-3= 5

L’équation de la droite (AB) est donc :Y=3x+5

 

2- on détermine son ordonnée à l'origine en utilisant un des points de la droite.

Le plan est muni d'un repère orthnormal.

On considère le point A(1;8) et la droite D d'équation y = 3x+5.

Déterminer l'équation de la droite D' perpendiculaire à D passant par A.

Soit y = ax+b l'équation de D'.

Comme D et D' sont perpendiculaires, 3a =5 , donc a=5/3.

Comme D' passe par A, on a yA = axA + b, donc 8=5/3+b

On en déduit que b=8-5/3=19/3

L'équation de D' est donc y=5/3x−19/3

COMMENT TRACER UNE DROITE ?

Pour tracer une droite dont on connaît l'équation, on recherche les coordonnées de deux points appartenant à cette droite. Pour cela, il est possible de faire un tableau.

 

A

B

C

X

XA

XB

XC

Y

YA

YB

YC

L'équation de la droite est de la forme : Y = a.X + b

alors :

YA = a.XA + b

YB = a.XB + b

YC = a.XC + b

Exemple : la droite (d) a pour équation : Y = 3x +5

supposons que le point A a pour abscisse XA= 1. On calcule YA et on trouve YA = 3´ 1 + 5 = 8

on écrit : A ( 1 ; 8 )

même chose pour B : avec XB = -1 on trouve YB = 2

 

A

B

X

1

-1

Y

8

2

1. Pour trouver une équation de droite, il faut souvent (toujours) introduire un point M de coordonnées (x;y) appartenant à cette droite.

2. L'équation d'une droite est de la forme : y=ax+b

3. Le point M(xm;ym) appartient à cette droite si et seulement si : ym = a.xm + b

4. a) La droite d'équation X=k où k est un nombre constant est parallèle à l'axe des ordonnées. (axe des Y)
   
  b) La droite d'équation Y=k ou k est un nombre constant est parallèle à l'axe des abscisses. (axe des X)

5. Si l'équation de la droite est du type y=ax, alors cette droite passe par l'origine du repère (O(0;0))

consulter l'illustration dans maple ici:



[1] C’est la forme que nous utiliserons ici.

[2] Le cas le plus courant

[3] Idem que pour (2) c’est sur eux que nous travaillerons

[4] Appartient à



19/01/2010
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